$0 \leq x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解きます。 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$

1. 問題の内容

$0 \leq x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解きます。

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$ を三角関数の合成を用いて解きます。

まず、左辺を合成します。

$R \sin(x+\alpha) = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ となるように、R と $\alpha$ を求めます。

$R \sin(x+\alpha) = R(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = (R \cos \alpha)\sin x + (R \sin \alpha) \cos x$

係数を比較して、

$R \cos \alpha = \sqrt{3}$

$R \sin \alpha = -1$

この２式を２乗して足し合わせると、

$R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$

$R^2 = 4$

$R = 2$ (R > 0)

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = -\frac{1}{2}$

これより、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

したがって、与えられた方程式は、

$2 \sin (x - \frac{\pi}{6}) = 1$

$\sin (x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{1}{2}$

$0 \leq x < 2\pi$ より、

$-\frac{\pi}{6} \leq x - \frac{\pi}{6} < 2\pi - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{11\pi}{6}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

したがって、

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ または $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}, \pi$