関数 $y = -x^2 + 6x$ の増減を調べる。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x$ の増減を調べる。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x) = -2x + 6$

2. 次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-2x + 6 = 0$

$-2x = -6$

$x = 3$

3. $x=3$ を境に、$y'$ の符号を調べます。

- $x < 3$ のとき、例えば $x=0$ を代入すると、$y' = -2(0) + 6 = 6 > 0$ なので、関数は増加します。

- $x > 3$ のとき、例えば $x=4$ を代入すると、$y' = -2(4) + 6 = -2 < 0$ なので、関数は減少します。

4. $x=3$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$

したがって、$x=3$ で極大値 $9$ をとります。

3. 最終的な答え

- $x < 3$ のとき、増加する。

- $x > 3$ のとき、減少する。

- $x=3$ で極大値 $9$ をとる。