次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となる。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} du = \int u^{-1/3} du$

次に、冪関数の積分を行う。

$\int u^{-1/3} du = \frac{u^{(-1/3)+1}}{(-1/3)+1} + C = \frac{u^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2} u^{2/3} + C$

最後に、$u = x+1$ を代入して、積分結果を $x$ の関数で表す。

$\frac{3}{2} u^{2/3} + C = \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}+C$