$\alpha$ の動径が第3象限にあり、$\sin\alpha = -\frac{3}{5}$、$\beta$ の動径が第4象限にあり、$\cos\beta = \frac{4}{5}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin(\alpha + \beta)$ (2) $\cos(\alpha - \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第3象限にあり、$\sin\alpha = -\frac{3}{5}$、$\beta$ の動径が第4象限にあり、$\cos\beta = \frac{4}{5}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin(\alpha + \beta)$

(2) $\cos(\alpha - \beta)$

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の値を求める。

$\alpha$は第3象限の角なので、$\cos\alpha < 0$ である。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

したがって、$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$

$\beta$は第4象限の角なので、$\sin\beta < 0$ である。

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

したがって、$\sin\beta = -\frac{3}{5}$

(1) $\sin(\alpha + \beta)$ を求める。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$= \left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right)$

$= -\frac{12}{25} + \frac{12}{25}$

$= 0$

(2) $\cos(\alpha - \beta)$ を求める。

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$= \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right)$

$= -\frac{16}{25} + \frac{9}{25}$

$= -\frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = 0$

(2) $\cos(\alpha - \beta) = -\frac{7}{25}$