与えられた三角関数の値から、指定された三角関数の値を求めたり、三角関数の式を簡単にしたり、最大値を求めたりする問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値から、指定された三角関数の値を求めたり、三角関数の式を簡単にしたり、最大値を求めたりする問題です。

2. 解き方の手順

1. (1) $\sin(\alpha + \beta)$ を求める。$\tan \alpha = \frac{3}{4}$ より $\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \alpha = -\frac{4}{5}$ ($\alpha$ は鈍角のため)。$\cos \beta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ より $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ($\beta$ は鈍角のため)。したがって、

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} (-\frac{2}{\sqrt{5}}) + (-\frac{4}{5}) \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{6}{5\sqrt{5}} - \frac{4}{5\sqrt{5}} = -\frac{10}{5\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

よって、$ア = -2/5$

(2) $\cos(\alpha + \beta)$ を求める。

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{4}{5}) (-\frac{2}{\sqrt{5}}) - \frac{3}{5} \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} - \frac{3}{5\sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

よって、$イ = 1/5$

(3) $\tan(\alpha - \beta)$ を求める。

$\tan \alpha = \frac{3}{4}, \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1/\sqrt{5}}{-2/\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{3}{4} - (-\frac{1}{2})}{1 + \frac{3}{4} (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2$

よって、$ウ = 2$

2. (1) $\sin 2\alpha$ を求める。$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$ より、$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 (-\frac{1}{\sqrt{3}}) (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

よって、$エ = 2/3$

(2) $\cos 2\alpha$ を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

よって、$オ = 1/3$

3. (1) $\cos 80^\circ - \cos 20^\circ + \cos 40^\circ$ を求める。

$\cos 80^\circ + \cos 40^\circ - \cos 20^\circ = 2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 2(\frac{1}{2}) \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$

よって、$カ = 0$

(2) $\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ$ を求める。

$\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \cos 10^\circ \cos(60^\circ - 10^\circ) \cos(60^\circ + 10^\circ) = \cos 10^\circ (\cos 60^\circ \cos 10^\circ + \sin 60^\circ \sin 10^\circ)(\cos 60^\circ \cos 10^\circ - \sin 60^\circ \sin 10^\circ) = \cos 10^\circ (\cos^2 60^\circ \cos^2 10^\circ - \sin^2 60^\circ \sin^2 10^\circ) = \cos 10^\circ (\frac{1}{4}\cos^2 10^\circ - \frac{3}{4}\sin^2 10^\circ) = \frac{1}{4} \cos 10^\circ (\cos^2 10^\circ - 3\sin^2 10^\circ) = \frac{1}{4} \cos 10^\circ (\cos^2 10^\circ - 3(1-\cos^2 10^\circ)) = \frac{1}{4}\cos 10^\circ (4\cos^2 10^\circ - 3) = \frac{1}{4} (4\cos^3 10^\circ - 3 \cos 10^\circ) = \frac{1}{4} \cos (3 \cdot 10^\circ) = \frac{1}{4} \cos 30^\circ = \frac{1}{4} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

よって、$キ = 1/8$

4. $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ を $A \sin(x + \phi)$ の形に変形する。

$y = \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2 (\cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

よって、$ク = 2, ケ = 1/3$

5. $y = 4 \sin x - 3 \cos x$ の最大値を求める。

$y = 4 \sin x - 3 \cos x = \sqrt{4^2 + (-3)^2} (\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x) = 5 (\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x)$. ここで $\cos \alpha = \frac{4}{5}, \sin \alpha = \frac{3}{5}$ とおくと、$y = 5 (\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x) = 5 \sin(x - \alpha)$.

$-1 \leq \sin(x - \alpha) \leq 1$ より $-5 \leq y \leq 5$. したがって、最大値は5

よって、$コ = 5$

3. 最終的な答え

1. (1) ア: -2/5

(2) イ: 1/5

(3) ウ: 2

2. (1) エ: 2/3

(2) オ: 1/3

3. (1) カ: 0

(2) キ: 1/8

4. ク: 2, ケ: 1/3

5. コ: 5