$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

$\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0$

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表します。$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用います。

与えられた方程式に代入すると、

$$2\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta + 1 = 0$$

$$2\cos^2 \theta + \cos \theta = 0$$

$\cos \theta$ でくくると、

$$\cos \theta (2\cos \theta + 1) = 0$$

よって、

$$\cos \theta = 0 \quad または \quad 2\cos \theta + 1 = 0$$

$$cos \theta = 0 \quad または \quad \cos \theta = -\frac{1}{2}$$

$\cos \theta = 0$ となる $\theta$ は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、

$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$