与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選び出す問題です。ただし、関数はすべて連続であるとします。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選び出す問題です。ただし、関数はすべて連続であるとします。

2. 解き方の手順

* 選択肢1: 閉区間 $[a, b]$ 上で $f(x) \le g(x)$ ならば、$\int_{a}^{b} |f(x)| dx \le \int_{a}^{b} |g(x)| dx$ が成り立つか。

これは一般には成り立ちません。例えば、$f(x) = -1$、$g(x) = 0$ の場合、$f(x) \le g(x)$ ですが、$\int_{a}^{b} |-1| dx = b-a > 0 = \int_{a}^{b} |0| dx$ となり、不等号の向きが逆になります。

* 選択肢2: $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ において常に積分可能であるか。

$f(x)$が連続ならば積分可能です。問題文で関数はすべて連続だとされているので、これは正しいです。

* 選択肢3: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^3 = \int_{0}^{1} x^3 dx$ が成り立つか。

これはリーマン積分の定義そのものです。$\int_{0}^{1} x^3 dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x$ であり、$\Delta x = \frac{1}{n}$、$x_k = \frac{k}{n}$、$f(x) = x^3$ とすれば、与えられた式と一致します。したがって、これは正しいです。

* 選択肢4: 閉区間 $[a, b]$ 上で $\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$ ならば、$[a, b]$ 上で $f(x) = 0$ であるか。

これは一般には成り立ちません。例えば、$f(x) = x$、$a = -1$、$b = 1$ の場合、$\int_{-1}^{1} x dx = 0$ ですが、$f(x)$ は常に $0$ であるわけではありません。

* 選択肢5: 閉区間 $[a, b]$ 上で $\int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx = 0$ ならば、$[a, b]$ 上で $f(x) = 0$ であるか。

$\{f(x)\}^2 \ge 0$ であり、$f(x)$ が連続であることから、$\int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx = 0$ ならば、$[a, b]$ 上で $f(x) = 0$ である必要があります。これは正しいです。

* 選択肢6: $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx$ が成り立つか。

積分の性質より、$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$ です。したがって、$\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx$ となります。これは正しいです。

3. 最終的な答え

選択肢2, 3, 5, 6