不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求め、解答欄の $\frac{ア}{イ} e^{ウ} + C$ に当てはまるものを答える。

1. 問題の内容

不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求め、解答欄の $\frac{ア}{イ} e^{ウ} + C$ に当てはまるものを答える。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解くことができます。

$u = x^2$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = 2x$

$du = 2x dx$

$\frac{1}{2} du = x dx$

したがって、積分は次のようになります。

$\int xe^{x^2} dx = \int e^u \frac{1}{2} du$

$= \frac{1}{2} \int e^u du$

$= \frac{1}{2} e^u + C$

ここで、$u = x^2$ を代入すると、

$= \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

したがって、

ア = 1

イ = 2

ウ = $x^2$