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不等式 $-\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta \leq \sqrt{3}$ を解く問題です。

解析学三角関数三角関数の合成不等式解の範囲
2025/7/1

1. 問題の内容

不等式 −3sin⁡θ+cos⁡θ≤3-\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta \leq \sqrt{3} を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。
−3sin⁡θ+cos⁡θ-\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta を rsin⁡(θ+α)r \sin(\theta + \alpha) の形に変形します。
r=(−3)2+12=3+1=4=2r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 です。
cos⁡α=−32\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2} となる α\alpha は α=5π6\alpha = \frac{5\pi}{6} です。
したがって、−3sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+5π6)-\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \sin\left(\theta + \frac{5\pi}{6}\right) となります。
与えられた不等式は 2sin⁡(θ+5π6)≤32 \sin\left(\theta + \frac{5\pi}{6}\right) \leq \sqrt{3} と書き換えられます。
両辺を2で割ると、sin⁡(θ+5π6)≤32\sin\left(\theta + \frac{5\pi}{6}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} となります。
θ+5π6=t\theta + \frac{5\pi}{6} = t とおくと、sin⁡t≤32\sin t \leq \frac{\sqrt{3}}{2} となります。
0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi のとき、5π6≤t<2π+5π6\frac{5\pi}{6} \leq t < 2\pi + \frac{5\pi}{6} です。
sin⁡t=32\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} となる tt は t=π3,2π3t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} です。
sin⁡t≤32\sin t \leq \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす tt の範囲は、2π3≤t≤7π3\frac{2\pi}{3} \leq t \leq \frac{7\pi}{3} です。
したがって、2π3≤θ+5π6≤7π3\frac{2\pi}{3} \leq \theta + \frac{5\pi}{6} \leq \frac{7\pi}{3} となります。
2π3−5π6≤θ≤7π3−5π6\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}
4π−5π6≤θ≤14π−5π6\frac{4\pi - 5\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{14\pi - 5\pi}{6}
−π6≤θ≤9π6=3π2-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}
0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi なので、θ\theta の範囲は 0≤θ≤3π20 \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2} と 11π6≤θ<2π\frac{11\pi}{6} \leq \theta < 2\pi を合わせた範囲になります。
11π6\frac{11\pi}{6} は、2π−π62\pi - \frac{\pi}{6} なので、最終的な答えは、θ\theta が −π6≤θ≤3π2-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2} の範囲と 11π6≤θ<2π\frac{11 \pi}{6} \leq \theta < 2 \pi であるため、2π3≤θ+5π6≤2π+π3\frac{2\pi}{3} \leq \theta + \frac{5\pi}{6} \leq 2\pi + \frac{\pi}{3}。
θ+5π6≤8π3\theta + \frac{5\pi}{6} \leq \frac{8\pi}{3}
よって、2π3−5π6≤θ≤8π3−5π6\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{8\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}
−π6≤θ≤11π6\frac{-\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{11\pi}{6}.
ゆえに、0≤θ≤3π20 \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2} または 11π6≤θ<2π\frac{11\pi}{6} \leq \theta < 2\pi となります。
2π3≤θ+5π6≤7π3\frac{2\pi}{3} \leq \theta+\frac{5\pi}{6} \leq \frac{7\pi}{3} より、2π3−5π6≤θ≤7π3−5π6\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}。
−π6≤θ≤9π6=3π2-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}。
条件 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi より、0≤θ≤3π20 \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}。

3. 最終的な答え

0≤θ≤3π20 \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}

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