次の関数の極値を求めます。 (1) $y = |x-3|\sqrt{x+1}$ (2) $y = \sqrt{|x^2-1|}$ (3) $y = (x+5)\sqrt[3]{x^2}$

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めます。

(1) $y = |x-3|\sqrt{x+1}$

(2) $y = \sqrt{|x^2-1|}$

(3) $y = (x+5)\sqrt[3]{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = |x-3|\sqrt{x+1}$

定義域は $x \ge -1$ です。

$x \ge -1$ において $y \ge 0$ です。

$x \ge 3$ のとき、$y = (x-3)\sqrt{x+1}$

$x < 3$ のとき、$y = (3-x)\sqrt{x+1}$

$x \ge 3$ のとき、

$y' = \sqrt{x+1} + (x-3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) + x-3}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3x-1}{2\sqrt{x+1}}$

$y' = 0$ となるのは、$x = \frac{1}{3}$ ですが、$x \ge 3$ の範囲にはありません。

$x > 3$ では、$y' > 0$ なので単調増加です。

$-1 < x < 3$ のとき、

$y' = -\sqrt{x+1} + (3-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-2(x+1) + 3-x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-3x+1}{2\sqrt{x+1}}$

$y' = 0$ となるのは、$x = \frac{1}{3}$ です。

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$y = (3 - \frac{1}{3})\sqrt{\frac{1}{3}+1} = \frac{8}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$

$x = 3$ のとき、$y=0$ です。$y$ は連続です。

$x=-1$ のとき、$y=0$ です。

$y' = 0$ となるのは $x = \frac{1}{3}$ です。

$x=\frac{1}{3}$ の前後で$y'$の符号を調べます。

$-1<x<\frac{1}{3}$ のとき、$y'>0$

$\frac{1}{3}<x<3$ のとき、$y'<0$

$x>3$ のとき、$y'>0$

したがって、$x=\frac{1}{3}$ で極大値 $\frac{16\sqrt{3}}{9}$ をとり、$x=3$ で極小値 $0$ をとります。また、$x=-1$ で極小値 $0$ をとります。

(2) $y = \sqrt{|x^2-1|}$

定義域は全ての実数です。

$x^2 \ge 1$ のとき、$y = \sqrt{x^2-1}$

$x^2 < 1$ のとき、$y = \sqrt{1-x^2}$

$x > 1$ のとき、$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

$x < -1$ のとき、$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

$-1 < x < 1$ のとき、$y' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0$ です。

$x=0$ のとき、$y = \sqrt{1} = 1$

$x = 1$ と $x = -1$ で、$y = 0$ となります。

$x = 0$ で極大値 $1$ をとり、$x = \pm 1$ で極小値 $0$ をとります。

(3) $y = (x+5)\sqrt[3]{x^2}$

$y = (x+5)x^{\frac{2}{3}}$

$y' = x^{\frac{2}{3}} + (x+5) \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2(x+5)}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3x+2x+10}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{5x+10}{3x^{\frac{1}{3}}}$

$y' = 0$ となるのは、$5x+10 = 0$ より、$x = -2$ です。

$x = 0$ は定義されません。

$x < -2$ のとき、$y' < 0$

$-2 < x < 0$ のとき、$y' > 0$

$x > 0$ のとき、$y' > 0$

$x=-2$ のとき、$y = (-2+5)\sqrt[3]{(-2)^2} = 3 \sqrt[3]{4}$

したがって、$x = -2$ で極小値 $3\sqrt[3]{4}$ をとります。

$x=0$ では微分可能ではないですが、$y=0$ であり、前後で増加するので、極値ではありません。

3. 最終的な答え

(1)

$x = \frac{1}{3}$ で極大値 $\frac{16\sqrt{3}}{9}$

$x = 3$ で極小値 $0$

$x = -1$ で極小値 $0$

(2)

$x = 0$ で極大値 $1$

$x = \pm 1$ で極小値 $0$

(3)

$x = -2$ で極小値 $3\sqrt[3]{4}$