問題は、次の定積分を求めることです。 $\int_{1}^{e^2} \sqrt{x} \log{x} \, dx$

1. 問題の内容

問題は、次の定積分を求めることです。

$\int_{1}^{e^2} \sqrt{x} \log{x} \, dx$

2. 解き方の手順

この定積分は部分積分を用いて解きます。

まず、$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であることを利用します。

$u = \log{x}$、 $dv = x^{\frac{1}{2}} dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$、 $v = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int_{1}^{e^2} \sqrt{x} \log{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{e^2} - \int_{1}^{e^2} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{e^2} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e^2} x^{\frac{1}{2}} \, dx$

$= \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{e^2} - \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{e^2}$

$= \left( \frac{2}{3} (e^2)^{\frac{3}{2}} \log{e^2} - \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} \log{1} \right) - \frac{2}{3} \left( \frac{2}{3} (e^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} \right)$

$= \left( \frac{2}{3} e^3 \cdot 2 - 0 \right) - \frac{4}{9} \left( e^3 - 1 \right)$

$= \frac{4}{3} e^3 - \frac{4}{9} e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{12}{9} e^3 - \frac{4}{9} e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{8}{9} e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{8e^3+4}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{8e^3+4}{9}$