問題は、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解くことができます。まず、$u=x$ と $dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ と置きます。すると、$du = dx$ と $v = \tan x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \, d(\tan x) = [x \tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$

ここで、$[x \tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \tan(\frac{\pi}{4}) - 0 \tan(0) = \frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{4}$

そして、$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = [-\ln|\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| - (-\ln|\cos(0)|) = -\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \ln(1) = -\ln(2^{-\frac{1}{2}}) + 0 = \frac{1}{2} \ln 2$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$