関数 $f(x) = \log(1+x)$ に対して、マクローリンの定理（$n=2$）を適用した式を求め、それを用いて $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求め、さらにその近似値の誤差の限界を調べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1+x)$ に対して、マクローリンの定理（$n=2$）を適用した式を求め、それを用いて $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求め、さらにその近似値の誤差の限界を調べる。

2. 解き方の手順

(1) マクローリンの定理（$n=2$の場合）を適用した式を求める。

マクローリンの定理は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開するもので、以下のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_2$

ここで、$R_2$ は剰余項です。

$f(x) = \log(1+x)$ なので、

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ なので、

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ なので、

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

剰余項 $R_2$ は、$R_2 = \frac{f'''(c)}{3!}x^3$ で表されます。（ラグランジュの剰余項の形）

ここで、$c$ は $0$ と $x$ の間のある数です。

したがって、マクローリンの定理（$n=2$）を適用した式は以下のようになります。

$f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2} x^2 + \frac{2}{6(1+c)^3}x^3$

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(1+c)^3}$

(2) $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求める。

$\log(1.02) = \log(1 + 0.02)$ なので、$x = 0.02$ を代入します。

近似値は $R_2$ を無視した項で計算します。

$\log(1.02) \approx 0.02 - \frac{(0.02)^2}{2} = 0.02 - \frac{0.0004}{2} = 0.02 - 0.0002 = 0.0198$

(3) 近似値の誤差の限界を調べる。

誤差は剰余項 $R_2 = \frac{x^3}{3(1+c)^3}$ で評価できます。$0 < c < x = 0.02$です。

誤差の最大値は、$c=0$ のとき。

$|R_2| = \frac{(0.02)^3}{3(1+0)^3} = \frac{0.000008}{3} = \frac{8}{3} \times 10^{-6} \approx 2.67 \times 10^{-6} = 0.00000267$

3. 最終的な答え

(1) マクローリンの定理（$n=2$）を適用した式:

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(1+c)^3}$

(2) $\log(1.02)$ の近似値（小数第4位まで）:

0. 0198

(3) 近似値の誤差の限界:

0. 00000267