与えられた数列の和 $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるために、部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数に分解すると、

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ をかけると、

$$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$$

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = A(2(\frac{1}{2})+1) + B(2(\frac{1}{2})-1) = 2A$, よって $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = A(2(-\frac{1}{2})+1) + B(2(-\frac{1}{2})-1) = -2B$, よって $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$

数列の和は

$$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$

この和はtelescoping sum（伸縮和）となるので、

$$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$$

$$S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$