$\int \cos(2x - \frac{\pi}{3}) dx$ を計算します。

## 問題の解答

### [1] の問題

1. 問題の内容

$\int \cos(2x - \frac{\pi}{3}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

三角関数の積分です。

$u = 2x - \frac{\pi}{3}$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = 2$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、積分は

$\int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C$

ここで、$u = 2x - \frac{\pi}{3}$ を代入します。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3}) + C$

### [2] の問題

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{\cos^2(3x+4)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)$ であることを利用します。

$\int \frac{dx}{\cos^2(3x+4)} = \int \sec^2(3x+4) dx$

ここで、$u = 3x+4$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = 3$ より、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

したがって、積分は

$\int \sec^2(u) \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sec^2(u) du = \frac{1}{3} \tan(u) + C$

ここで、$u = 3x+4$ を代入します。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \tan(3x+4) + C$

### [3] の問題

1. 問題の内容

$\int (x-1)\sqrt{x-2}dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = x-2$ と置換します。すると、$x = u+2$ となり、$dx = du$ となります。

積分は

$\int (u+2-1)\sqrt{u}du = \int (u+1)\sqrt{u}du = \int (u^{3/2} + u^{1/2}) du = \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C$

ここで、$u = x-2$ を代入します。

$\frac{2}{5}(x-2)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-2)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}(x-2)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-2)^{3/2} + C$

### [4] の問題

1. 問題の内容

$\int x3^{x^2+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = x^2 + 1$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、積分は

$\int 3^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 3^u du = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^u}{\ln 3} + C$

ここで、$u = x^2 + 1$ を代入します。

3. 最終的な答え

$\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C$

### [5] の問題

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = 1-x$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = -1$ より、$dx = -du$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{-du}{\sqrt{u}} = - \int u^{-1/2} du = -2u^{1/2} + C$

ここで、$u = 1-x$ を代入します。

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{1-x} + C$