与えられた和 $S$ を計算する問題です。 $$ S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} $$

1. 問題の内容

与えられた和 $S$ を計算する問題です。

$$$$

S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}

$$$$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数分解します。

$$$$

\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}

$$$$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ を掛けると、

$$$$

1 = A(2k+1) + B(2k-1)

$$$$

$k = \frac{1}{2}$ のとき、

$$$$

1 = A(2(\frac{1}{2})+1) + B(2(\frac{1}{2})-1) = 2A

$$$$

よって、$A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ のとき、

$$$$

1 = A(2(-\frac{1}{2})+1) + B(2(-\frac{1}{2})-1) = -2B

$$$$

よって、$B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$$$$

\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)

$$$$

与えられた和 $S$ は、

$$$$

S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)

$$$$

この和はtelescoping sum（隣接項との相殺）になるので、

$$$$

S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]

$$$$

$$$$

S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)

$$$$

$$$$

S = \frac{n}{2n+1}

$$$$

3. 最終的な答え

$$$$

S = \frac{n}{2n+1}

$$$$