与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて、与えられた数列の和を求めます。

まず、$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ を掛けると、

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

この式が全ての $k$ について成り立つように $A$ と $B$ を決定します。

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = A(2(\frac{1}{2})+1) + B(2(\frac{1}{2})-1) = 2A$, よって $A = \frac{1}{2}$.

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = A(2(-\frac{1}{2})+1) + B(2(-\frac{1}{2})-1) = -2B$, よって $B = -\frac{1}{2}$.

したがって、

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

よって、和 $S$ は次のようになります。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right]$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う望遠鏡和 (telescoping sum) となっています。

$S = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2n+1 - 1}{2n+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2n}{2n+1}\right)$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{2n+1}$