与えられた級数 $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた級数 $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用して級数を計算する。

まず、$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ を部分分数に分解する。すなわち、

$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{A}{3k-1} + \frac{B}{3k+2}$

となるような定数$A$と$B$を求める。両辺に $(3k-1)(3k+2)$ をかけると、

$1 = A(3k+2) + B(3k-1)$

$1 = (3A + 3B)k + (2A - B)$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、

$3A + 3B = 0$

$2A - B = 1$

という連立方程式が成り立つ必要がある。一つ目の式から $A = -B$ がわかるので、これを二つ目の式に代入すると、

$2A - (-A) = 1$

$3A = 1$

$A = \frac{1}{3}$

したがって、$B = -\frac{1}{3}$ である。これより、

$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

したがって、級数 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right) \right]$

これは望遠鏡級数なので、途中の項が相殺されて、

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{2(3n+2)} \right)$

$S = \frac{n}{2(3n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{6n+4}$