問題は平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。 (c) 関数 $f(x) = \sin x$ が区間 $I = [0, \pi]$ で与えられたとき、平均値の定理を満たす $c$ を求める。 (d) 関数 $f(x) = \cos x$ が区間 $I = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ で与えられたとき、平均値の定理を満たす $c$ を求める。

1. 問題の内容

問題は平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。

(c) 関数 $f(x) = \sin x$ が区間 $I = [0, \pi]$ で与えられたとき、平均値の定理を満たす $c$ を求める。

(d) 関数 $f(x) = \cos x$ が区間 $I = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ で与えられたとき、平均値の定理を満たす $c$ を求める。

2. 解き方の手順

(c) 関数 $f(x) = \sin x$ が区間 $[0, \pi]$ で与えられたとき、平均値の定理は次のようになります。

$\frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = f'(c)$

ここで、$f(x) = \sin x$ なので、$f'(x) = \cos x$ となります。また、$f(\pi) = \sin \pi = 0$ であり、$f(0) = \sin 0 = 0$ です。したがって、

$\frac{0 - 0}{\pi - 0} = \cos c$

$0 = \cos c$

区間 $[0, \pi]$ で $\cos c = 0$ となる $c$ の値は $c = \frac{\pi}{2}$ です。

(d) 関数 $f(x) = \cos x$ が区間 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ で与えられたとき、平均値の定理は次のようになります。

$\frac{f(\frac{\pi}{2}) - f(-\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})} = f'(c)$

ここで、$f(x) = \cos x$ なので、$f'(x) = -\sin x$ となります。また、$f(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ であり、$f(-\frac{\pi}{2}) = \cos (-\frac{\pi}{2}) = 0$ です。したがって、

$\frac{0 - 0}{\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})} = -\sin c$

$0 = -\sin c$

$0 = \sin c$

区間 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ で $\sin c = 0$ となる $c$ の値は $c = 0$ です。

3. 最終的な答え

(c) $c = \frac{\pi}{2}$

(d) $c = 0$