(1) $x$ が正の実数全体を動くとき、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める。 (2) $x$ が実数全体を動くとき、$f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ が正の実数全体を動くとき、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める。

(2) $x$ が実数全体を動くとき、$f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

相加相乗平均の不等式を利用する。$x > 0$ のとき、$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$ が成り立つ。

等号成立は $x = \frac{1}{x}$ すなわち $x^2 = 1$ のときであり、$x > 0$ より $x = 1$。

したがって、$f(x)$ の最小値は 2 である。

(2)

$f(x)$ の式を変形する。

\begin{align*}

f(x) &= \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1} \\

&= \frac{x^4 + x^3 + x^2 + x^3 + x^2 + x + 1 - x - 1 + 1}{x^2 + x + 1} \\

&= \frac{x^2(x^2 + x + 1) + x(x^2 + x + 1) + (1 - x)(x+1) + 1}{x^2 + x + 1} \\

&= \frac{x^2(x^2 + x + 1) + x(x^2 + x + 1) - x^2 + 1 + 1}{x^2 + x + 1} \\

&= x^2 + x + \frac{-x^2 + 2}{x^2 + x + 1}

\end{align*}

多項式の割り算を行うと、

$x^4 + 2x^3 + x^2 + 1 = (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 1) + 2$

よって、

$f(x) = x^2 + x - 1 + \frac{2}{x^2 + x + 1}$

$g(x) = x^2 + x + 1$ とおくと、$g(x) = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$。

$f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x^2 + x + 1)(x^2 + x - 1) + 2}{x^2 + x + 1} = x^2 + x - 1 + \frac{2}{x^2 + x + 1}$

$t = x^2 + x + 1$ とおくと、$t \ge \frac{3}{4}$

$f(x) = t - 2 + \frac{2}{t} = t + \frac{2}{t} - 2$

$t + \frac{2}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2 \sqrt{2}$

$f(x) \ge 2 \sqrt{2} - 2$

$f(x) = x^2 + x - 1 + \frac{2}{x^2 + x + 1} = (x^2 + x + 1) - 2 + \frac{2}{x^2 + x + 1}$

$t = x^2 + x + 1$ とおくと、$t \ge \frac{3}{4}$

$f(x) = t + \frac{2}{t} - 2$

$f'(t) = 1 - \frac{2}{t^2} = 0$ とすると、$t = \sqrt{2}$ ($\because t>0$)

$t = \sqrt{2}$ のとき、$x^2 + x + 1 = \sqrt{2}$ より $x^2 + x + (1 - \sqrt{2}) = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1 - \sqrt{2})}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4\sqrt{2} - 3}}{2}$

これは実数解を持つ。

したがって、$f(x)$ の最小値は $2\sqrt{2} - 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $2\sqrt{2} - 2$