関数 $f(x, y) = (-2xy - 3y^2) \ln(-4x + 9)$ の点 $(2, -1)$ における偏微分係数 $f_x(2, -1)$ と $f_y(2, -1)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = (-2xy - 3y^2) \ln(-4x + 9)$ の点 $(2, -1)$ における偏微分係数 $f_x(2, -1)$ と $f_y(2, -1)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $x$ で偏微分して $f_x(x, y)$ を求め、次に $y$ で偏微分して $f_y(x, y)$ を求める。その後、$x = 2$、$y = -1$ を代入して $f_x(2, -1)$ と $f_y(2, -1)$ を計算する。

$f(x, y) = (-2xy - 3y^2) \ln(-4x + 9)$

$x$ で偏微分:

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} [(-2xy - 3y^2) \ln(-4x + 9)]$

積の微分法を使用する。

$f_x(x, y) = (-2y) \ln(-4x + 9) + (-2xy - 3y^2) \frac{-4}{-4x + 9}$

$f_x(x, y) = -2y \ln(-4x + 9) + \frac{-8xy - 12y^2}{-4x + 9}$

$x = 2$、$y = -1$ を代入する。

$f_x(2, -1) = -2(-1) \ln(-4(2) + 9) + \frac{-8(2)(-1) - 12(-1)^2}{-4(2) + 9}$

$f_x(2, -1) = 2 \ln(1) + \frac{16 - 12}{1}$

$f_x(2, -1) = 2(0) + 4 = 4$

$y$ で偏微分:

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} [(-2xy - 3y^2) \ln(-4x + 9)]$

$f_y(x, y) = (-2x - 6y) \ln(-4x + 9)$

$x = 2$、$y = -1$ を代入する。

$f_y(2, -1) = (-2(2) - 6(-1)) \ln(-4(2) + 9)$

$f_y(2, -1) = (-4 + 6) \ln(1)$

$f_y(2, -1) = 2(0) = 0$

3. 最終的な答え

$f_x(2, -1) = 4$

$f_y(2, -1) = 0$