関数 $f(x)$ が2回微分可能であるとき、ロピタルの定理を用いて次の極限値を求めます。 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が2回微分可能であるとき、ロピタルの定理を用いて次の極限値を求めます。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用するため、まず分子と分母が $h \to 0$ のとき、ともに0になることを確認します。

分子は $f(x) - 2f(x) + f(x) = 0$ となり、分母は $0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となり、ロピタルの定理を適用できます。

1回目のロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ $h$ で微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dh} [f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)] = 2f'(x+2h) - 2f'(x+h)$

分母の微分: $\frac{d}{dh} [h^2] = 2h$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{2f'(x+2h) - 2f'(x+h)}{2h}$

再び $h \to 0$ のとき、分子は $2f'(x) - 2f'(x) = 0$ となり、分母は $0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となり、ロピタルの定理を再度適用できます。

2回目のロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ $h$ で微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dh} [2f'(x+2h) - 2f'(x+h)] = 4f''(x+2h) - 2f''(x+h)$

分母の微分: $\frac{d}{dh} [2h] = 2$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{4f''(x+2h) - 2f''(x+h)}{2}$

$h \to 0$ の極限を計算します。

$\lim_{h \to 0} \frac{4f''(x+2h) - 2f''(x+h)}{2} = \frac{4f''(x) - 2f''(x)}{2} = \frac{2f''(x)}{2} = f''(x)$

3. 最終的な答え

$f''(x)$