以下の5つの積分問題を解きます。 (1) $\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2} dx$ (2) $\int \sin x \cos 3x dx$ (3) $\int \sin 2x \sin 3x dx$ (4) $\int \frac{1}{4x^2 - 12x + 9} dx$ (5) $\int \cos^4 x dx$

1. 問題の内容

以下の5つの積分問題を解きます。

(1) $\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2} dx$

(2) $\int \sin x \cos 3x dx$

(3) $\int \sin 2x \sin 3x dx$

(4) $\int \frac{1}{4x^2 - 12x + 9} dx$

(5) $\int \cos^4 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2} dx$

$u = e^x + 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となり、$e^x = u - 1$ なので、$e^{2x} = (u-1)^2$ となります。

よって積分は以下のようになります。

$\int \frac{(u-1)^2}{u^2} \frac{1}{u-1} du = \int \frac{u-1}{u^2} du = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}) du = \ln |u| + \frac{1}{u} + C = \ln (e^x + 1) + \frac{1}{e^x + 1} + C$

(2) $\int \sin x \cos 3x dx$

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を用いると、

$\sin x \cos 3x = \frac{1}{2} (\sin(x+3x) + \sin(x-3x)) = \frac{1}{2} (\sin 4x + \sin(-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 4x - \sin 2x)$

したがって、

$\int \sin x \cos 3x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 4x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 4x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{4} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\int \sin 2x \sin 3x dx$

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) - \cos(A+B))$ を用いると、

$\sin 2x \sin 3x = \frac{1}{2} (\cos(2x-3x) - \cos(2x+3x)) = \frac{1}{2} (\cos(-x) - \cos(5x)) = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 5x)$

したがって、

$\int \sin 2x \sin 3x dx = \int \frac{1}{2} (\cos x - \cos 5x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos x - \cos 5x) dx = \frac{1}{2} (\sin x - \frac{1}{5} \sin 5x) + C = \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin 5x + C$

(4) $\int \frac{1}{4x^2 - 12x + 9} dx$

$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$ なので、

$\int \frac{1}{(2x - 3)^2} dx$

$u = 2x - 3$ と置くと $du = 2 dx$ なので $dx = \frac{1}{2} du$

$\int \frac{1}{u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(2x - 3)} + C = -\frac{1}{4x - 6} + C$

(5) $\int \cos^4 x dx$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を使うと、

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (\frac{1 + \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x) = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 4x) = \frac{1}{4} (\frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{1}{2} \cos 4x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

$\int \cos^4 x dx = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x) dx = \frac{3}{8} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x + C = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln (e^x + 1) + \frac{1}{e^x + 1} + C$

(2) $-\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin 5x + C$

(4) $-\frac{1}{4x - 6} + C$

(5) $\frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$