問題1では、双曲線関数coshとsinhに$\log 2$や$\log(2+\sqrt{3})$を代入した値を計算します。 問題2では、双曲線正接関数$\tanh x$について、対称性、増減、凹凸、極限($\lim_{x \to \infty} \tanh x$, $\lim_{x \to -\infty} \tanh x$)などを調べ、グラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

問題1では、双曲線関数coshとsinhに$\log 2$や$\log(2+\sqrt{3})$を代入した値を計算します。

問題2では、双曲線正接関数$\tanh x$について、対称性、増減、凹凸、極限($\lim_{x \to \infty} \tanh x$, $\lim_{x \to -\infty} \tanh x$)などを調べ、グラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

問題1：

双曲線関数は以下のように定義されます。

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

これらの定義に基づいて計算します。対数は自然対数（底がe）とします。

(1) $\cosh(\log 2) = \frac{e^{\log 2} + e^{-\log 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{4}$

(2) $\sinh(\log 2) = \frac{e^{\log 2} - e^{-\log 2}}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$

(3) $\cosh(\log(2+\sqrt{3})) = \frac{e^{\log(2+\sqrt{3})} + e^{-\log(2+\sqrt{3})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{3}) + \frac{1}{2+\sqrt{3}}}{2}$

ここで、$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$ なので、

$\cosh(\log(2+\sqrt{3})) = \frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(4) $\sinh(\log(2+\sqrt{3})) = \frac{e^{\log(2+\sqrt{3})} - e^{-\log(2+\sqrt{3})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{3}) - \frac{1}{2+\sqrt{3}}}{2}$

$= \frac{(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

問題2：

双曲線正接関数は以下のように定義されます。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

対称性：

$\tanh(-x) = \frac{e^{-2x}-1}{e^{-2x}+1} = \frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}} = -\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = -\tanh x$

したがって、$\tanh x$は奇関数であり、原点対称です。

増減：

$\tanh x$の微分を計算します。

$(\tanh x)' = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{1}{\cosh^2 x}$

$\cosh^2 x > 0$なので、$(\tanh x)' > 0$であり、$\tanh x$は常に増加関数です。

凹凸：

$(\tanh x)'' = \frac{d}{dx} (\cosh^{-2} x) = -2 \cosh^{-3} x \sinh x = -2 \frac{\sinh x}{\cosh^3 x} = -2 \tanh x \operatorname{sech}^2 x$

$(\tanh x)'' = 0$のとき、$\tanh x = 0$となり、$x = 0$です。

$x < 0$のとき、$\tanh x < 0$なので$(\tanh x)'' > 0$となり、下に凸です。

$x > 0$のとき、$\tanh x > 0$なので$(\tanh x)'' < 0$となり、上に凸です。

したがって、$x=0$は変曲点です。

極限：

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $\cosh(\log 2) = \frac{5}{4}$

(2) $\sinh(\log 2) = \frac{3}{4}$

(3) $\cosh(\log(2+\sqrt{3})) = 2$

(4) $\sinh(\log(2+\sqrt{3})) = \sqrt{3}$

問題2：

$\tanh x$は奇関数であり、原点対称。常に増加関数。$x=0$は変曲点。

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$

グラフは原点対称なS字カーブを描き、y=1とy=-1が漸近線です。