曲線 $xy = 2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線と法線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $xy = 2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線と法線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$xy=2$ を $y$ について解くと、$y = \frac{2}{x}$ となる。

次に、$y$ を $x$ で微分して、導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^2}$

点 $A(1, 2)$ における接線の傾き $m$ は、導関数に $x = 1$ を代入することで求められる。

$m = -\frac{2}{1^2} = -2$

したがって、点 $A(1, 2)$ における接線の方程式は、点傾き式を用いて、

$y - 2 = -2(x - 1)$

$y - 2 = -2x + 2$

$y = -2x + 4$

法線は接線に垂直な直線である。接線の傾きが $-2$ なので、法線の傾きは $\frac{1}{2}$ である。

したがって、点 $A(1, 2)$ における法線の方程式は、点傾き式を用いて、

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$

$y - 2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = -2x + 4$

法線の方程式: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$