関数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ の $n$ 次導関数 (ただし $n \geq 1$) を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ の $n$ 次導関数 (ただし $n \geq 1$) を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数の1次導関数、2次導関数、3次導関数を計算し、規則性を見つける。

$f(x) = (1+x)^{-1}$

1次導関数:

$f'(x) = -1(1+x)^{-2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$

2次導関数:

$f''(x) = -1(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3} = \frac{2}{(1+x)^3}$

3次導関数:

$f'''(x) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4} = \frac{-6}{(1+x)^4}$

一般に、n次導関数は次の形で表されると予想される。

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

数学的帰納法で証明する。

(1) $n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{-1}{(1+x)^2} = \frac{(-1)^1 1!}{(1+x)^{1+1}}$ なので、成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^k k!}{(1+x)^{k+1}}$ が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{(-1)^k k!}{(1+x)^{k+1}} \right) = (-1)^k k! \frac{d}{dx} (1+x)^{-(k+1)}$

$= (-1)^k k! [-(k+1)(1+x)^{-(k+2)}] = (-1)^{k+1} (k+1)! (1+x)^{-(k+2)} = \frac{(-1)^{k+1} (k+1)!}{(1+x)^{(k+1)+1}}$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

よって、$n \geq 1$ において、$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$