曲線 $y = e^x + 2e^{-x}$ 上で、傾きが1である接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^x + 2e^{-x}$ 上で、傾きが1である接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、曲線の傾きを求めます。

$y = e^x + 2e^{-x}$

$y' = e^x - 2e^{-x}$

次に、接線の傾きが1である条件から、$x$の値を求めます。

$e^x - 2e^{-x} = 1$

両辺に$e^x$をかけて、$e^{2x} - 2 = e^x$

$e^{2x} - e^x - 2 = 0$

ここで、$t = e^x$ とおくと、$t^2 - t - 2 = 0$

$(t-2)(t+1) = 0$

$t = 2, -1$

$e^x = 2, -1$

$e^x > 0$ より、$e^x = 2$

$x = \log 2$

次に、接点の$y$座標を求めます。

$y = e^{\log 2} + 2e^{-\log 2} = 2 + 2e^{\log (1/2)} = 2 + 2(1/2) = 2 + 1 = 3$

よって、接点の座標は$(\log 2, 3)$となります。

最後に、接線の方程式を求めます。

傾きが1で、点$(\log 2, 3)$を通る直線の方程式は、

$y - 3 = 1(x - \log 2)$

$y = x - \log 2 + 3$

3. 最終的な答え

$y = x - \log 2 + 3$