2つの曲線 $y = \sqrt{3} \sin x$ ($0 \le x \le \pi$)と $y = \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$)で囲まれた図形Rをx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \sqrt{3} \sin x$ ($0 \le x \le \pi$)と $y = \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$)で囲まれた図形Rをx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求める。

$\sqrt{3} \sin x = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$

$\sin x (\sqrt{3} - 2 \cos x) = 0$

$0 \le x \le \pi$なので、$\sin x = 0$または$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\sin x = 0$のとき、$x = 0, \pi$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$x = \frac{\pi}{6}$

区間$[0, \frac{\pi}{6}]$では、$\sqrt{3} \sin x \le \sin 2x$

区間$[\frac{\pi}{6}, \pi]$では、$\sqrt{3} \sin x \ge \sin 2x$

回転体の体積を求める。

区間$[0, \pi]$で、$\sqrt{3} \sin x$をx軸のまわりに回転した体積は

$V_1 = \pi \int_0^\pi (\sqrt{3} \sin x)^2 dx = 3\pi \int_0^\pi \sin^2 x dx = 3\pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = 3\pi [\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}]_0^\pi = 3\pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi^2}{2}$

区間$[0, \pi]$で、$\sin 2x$をx軸のまわりに回転した体積は

$V_2 = \pi \int_0^\pi (\sin 2x)^2 dx = \pi \int_0^\pi \sin^2 2x dx = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 4x}{2} dx = \pi [\frac{x}{2} - \frac{\sin 4x}{8}]_0^\pi = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$

求める体積は、$V_1 - V_2 = \frac{3\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} = \pi^2$ではない。

区間$[0, \frac{\pi}{6}]$で、回転体の体積は $\pi \int_0^{\pi/6} (\sin^2 2x - 3\sin^2 x) dx$

区間$[\frac{\pi}{6}, \pi]$で、回転体の体積は $\pi \int_{\pi/6}^{\pi} (3\sin^2 x - \sin^2 2x) dx$

体積$V = \pi \int_0^{\pi/6} (\sin^2 2x - 3\sin^2 x) dx + \pi \int_{\pi/6}^{\pi} (3\sin^2 x - \sin^2 2x) dx$

$=\pi \int_0^{\pi/6} (\frac{1-\cos4x}{2} - 3\frac{1-\cos2x}{2}) dx + \pi \int_{\pi/6}^{\pi} (3\frac{1-\cos2x}{2} - \frac{1-\cos4x}{2}) dx$

$=\pi [\frac{x}{2} - \frac{\sin4x}{8} - \frac{3x}{2} + \frac{3\sin2x}{4}]_0^{\pi/6} + \pi [\frac{3x}{2} - \frac{3\sin2x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\sin4x}{8}]_{\pi/6}^{\pi}$

$=\pi [-\frac{2x}{2} - \frac{\sin4x}{8} + \frac{3\sin2x}{4}]_0^{\pi/6} + \pi [\frac{2x}{2} - \frac{3\sin2x}{4} + \frac{\sin4x}{8}]_{\pi/6}^{\pi}$

$=\pi [-\frac{x}{1} - \frac{\sin4x}{8} + \frac{3\sin2x}{4}]_0^{\pi/6} + \pi [\frac{x}{1} - \frac{3\sin2x}{4} + \frac{\sin4x}{8}]_{\pi/6}^{\pi}$

$=\pi [-\frac{\pi}{6} - \frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{8} + \frac{3\sin\frac{\pi}{3}}{4}] + \pi [\pi - \frac{\pi}{6} - \frac{3\sin\frac{2\pi}{3}}{4} + \frac{\sin\frac{4\pi}{3}}{8}]$

$=\pi [-\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}/2}{8} + \frac{3\sqrt{3}/2}{4}] + \pi [\frac{5\pi}{6} - \frac{3\sqrt{3}/2}{4} + \frac{-\sqrt{3}/2}{8}]$

$=\pi [-\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{3\sqrt{3}}{8}] + \pi [\frac{5\pi}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16}]$

$=\pi [\frac{4\pi}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{16} + \frac{6\sqrt{3}}{16} - \frac{6\sqrt{3}}{16}] = \pi [\frac{2\pi}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{16}] = \frac{2\pi^2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}$

体積は $\frac{4\pi^2}{3}$

4π^2/3です