与えられた関数 $f(x, y)$ の指定された点における偏微分係数 $f_x$ と $f_y$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数と点について計算します。 * $f(x,y) = e^{4x^2-5xy+3y^2-9}$ at $(2,1)$ * $f(x,y) = xe^{-4xy-5y^2+28}$ at $(-1,-2)$ * $f(x,y) = (2x^2-5xy)e^{-2y-4}$ at $(1,-2)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ の指定された点における偏微分係数 $f_x$ と $f_y$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数と点について計算します。

* $f(x,y) = e^{4x^2-5xy+3y^2-9}$ at $(2,1)$

* $f(x,y) = xe^{-4xy-5y^2+28}$ at $(-1,-2)$

* $f(x,y) = (2x^2-5xy)e^{-2y-4}$ at $(1,-2)$

2. 解き方の手順

各関数について、まず $x$ と $y$ に関する偏導関数を求め、その後、指定された点の座標を代入して偏微分係数を計算します。

(1) $f(x,y) = e^{4x^2-5xy+3y^2-9}$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{4x^2-5xy+3y^2-9} (8x-5y)$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = e^{4x^2-5xy+3y^2-9} (-5x+6y)$

$f_x(2,1) = e^{4(2^2)-5(2)(1)+3(1^2)-9} (8(2)-5(1)) = e^{16-10+3-9}(16-5) = e^0(11) = 11$

$f_y(2,1) = e^{4(2^2)-5(2)(1)+3(1^2)-9} (-5(2)+6(1)) = e^{16-10+3-9}(-10+6) = e^0(-4) = -4$

(2) $f(x,y) = xe^{-4xy-5y^2+28}$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-4xy-5y^2+28} + x(-4y)e^{-4xy-5y^2+28} = e^{-4xy-5y^2+28}(1-4xy)$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x(-4x-10y)e^{-4xy-5y^2+28} = (-4x^2-10xy)e^{-4xy-5y^2+28}$

$f_x(-1,-2) = e^{-4(-1)(-2)-5(-2)^2+28}(1-4(-1)(-2)) = e^{-8-20+28}(1-8) = e^0(-7) = -7$

$f_y(-1,-2) = (-4(-1)^2-10(-1)(-2))e^{-4(-1)(-2)-5(-2)^2+28} = (-4-20)e^{-8-20+28} = -24e^0 = -24$

(3) $f(x,y) = (2x^2-5xy)e^{-2y-4}$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = (4x-5y)e^{-2y-4}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = (2x^2-5xy)(-2)e^{-2y-4} + (-5x)e^{-2y-4} = (-4x^2+10xy-5x)e^{-2y-4}$

$f_x(1,-2) = (4(1)-5(-2))e^{-2(-2)-4} = (4+10)e^{4-4} = 14e^0 = 14$

$f_y(1,-2) = (-4(1)^2+10(1)(-2)-5(1))e^{-2(-2)-4} = (-4-20-5)e^{4-4} = -29e^0 = -29$

3. 最終的な答え

* $f_x(2,1) = 11$, $f_y(2,1) = -4$

* $f_x(-1,-2) = -7$, $f_y(-1,-2) = -24$

* $f_x(1,-2) = 14$, $f_y(1,-2) = -29$