関数 $f(x, y) = \frac{e^{-4x-8}}{5y-1}$ の点 $(-2, 1)$ における偏微分係数 $f_x(-2, 1)$ と $f_y(-2, 1)$ を求める。$f_x(-2, 1) = -1$ は与えられているので、$f_y(-2, 1)$ のみを求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{e^{-4x-8}}{5y-1}$ の点 $(-2, 1)$ における偏微分係数 $f_x(-2, 1)$ と $f_y(-2, 1)$ を求める。$f_x(-2, 1) = -1$ は与えられているので、$f_y(-2, 1)$ のみを求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $y$ で偏微分する。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{e^{-4x-8}}{5y-1} \right) = e^{-4x-8} \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{5y-1} \right)$

$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{5y-1} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (5y-1)^{-1} = -1 (5y-1)^{-2} \cdot 5 = -\frac{5}{(5y-1)^2}$

したがって、

$f_y(x, y) = e^{-4x-8} \left( -\frac{5}{(5y-1)^2} \right) = -\frac{5e^{-4x-8}}{(5y-1)^2}$

次に、点 $(-2, 1)$ における $f_y$ の値を計算する。

$f_y(-2, 1) = -\frac{5e^{-4(-2)-8}}{(5(1)-1)^2} = -\frac{5e^{8-8}}{(5-1)^2} = -\frac{5e^0}{4^2} = -\frac{5 \cdot 1}{16} = -\frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

$f_y(-2, 1) = -\frac{5}{16}$