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関数 $f(x, y) = \frac{e^{-4x-8}}{5y-1}$ の点 $(-2, 1)$ における偏微分係数 $f_x(-2, 1)$ と $f_y(-2, 1)$ を求める。

解析学偏微分多変数関数
2025/7/1

1. 問題の内容

関数 f(x,y)=e−4x−85y−1f(x, y) = \frac{e^{-4x-8}}{5y-1} の点 (−2,1)(-2, 1) における偏微分係数 fx(−2,1)f_x(-2, 1) と fy(−2,1)f_y(-2, 1) を求める。

2. 解き方の手順

まず、f(x,y)f(x, y) を xx で偏微分する。
fx(x,y)=∂∂x(e−4x−85y−1)=15y−1∂∂xe−4x−8=15y−1(−4)e−4x−8=−4e−4x−85y−1f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{e^{-4x-8}}{5y-1} \right) = \frac{1}{5y-1} \frac{\partial}{\partial x} e^{-4x-8} = \frac{1}{5y-1} (-4)e^{-4x-8} = \frac{-4e^{-4x-8}}{5y-1}
次に、fx(−2,1)f_x(-2, 1) を計算する。
fx(−2,1)=−4e−4(−2)−85(1)−1=−4e8−85−1=−4e04=−4(1)4=−1f_x(-2, 1) = \frac{-4e^{-4(-2)-8}}{5(1)-1} = \frac{-4e^{8-8}}{5-1} = \frac{-4e^0}{4} = \frac{-4(1)}{4} = -1
次に、f(x,y)f(x, y) を yy で偏微分する。
fy(x,y)=∂∂y(e−4x−85y−1)=e−4x−8∂∂y(15y−1)=e−4x−8∂∂y(5y−1)−1=e−4x−8(−1)(5y−1)−2(5)=−5e−4x−8(5y−1)2f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{e^{-4x-8}}{5y-1} \right) = e^{-4x-8} \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{5y-1} \right) = e^{-4x-8} \frac{\partial}{\partial y} (5y-1)^{-1} = e^{-4x-8} (-1)(5y-1)^{-2}(5) = \frac{-5e^{-4x-8}}{(5y-1)^2}
次に、fy(−2,1)f_y(-2, 1) を計算する。
fy(−2,1)=−5e−4(−2)−8(5(1)−1)2=−5e8−8(5−1)2=−5e042=−5(1)16=−516f_y(-2, 1) = \frac{-5e^{-4(-2)-8}}{(5(1)-1)^2} = \frac{-5e^{8-8}}{(5-1)^2} = \frac{-5e^0}{4^2} = \frac{-5(1)}{16} = -\frac{5}{16}

3. 最終的な答え

fx(−2,1)=−1f_x(-2, 1) = -1
fy(−2,1)=−516f_y(-2, 1) = -\frac{5}{16}

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