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逆三角関数の恒等式 $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ を示す問題です。

解析学逆三角関数恒等式三角関数
2025/7/1

1. 問題の内容

逆三角関数の恒等式 cos⁡−1x+sin⁡−1x=π2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} を示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) cos⁡−1x=θ\cos^{-1}x = \theta とおきます。このとき、cos⁡θ=x\cos \theta = x となります。
(2) sin⁡(π2−θ)\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) を考えます。sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta が成り立ちます。
(3) (1)と(2)より、sin⁡(π2−θ)=x\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = x が得られます。
(4) (3)の両辺の逆正弦関数をとると、sin⁡−1x=π2−θ\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \theta となります。
(5) (4)をθ\theta について解くと、θ=π2−sin⁡−1x\theta = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x となります。
(6) (1)よりθ=cos⁡−1x\theta = \cos^{-1}x なので、cos⁡−1x=π2−sin⁡−1x\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x が得られます。
(7) この式を整理すると、cos⁡−1x+sin⁡−1x=π2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} となります。

3. 最終的な答え

cos⁡−1x+sin⁡−1x=π2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}

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