関数 $f(x,y) = \frac{4y-3}{2x+1}$ の点 $(1,-2)$ における偏微分係数 $f_x(1,-2)$ と $f_y(1,-2)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \frac{4y-3}{2x+1}$ の点 $(1,-2)$ における偏微分係数 $f_x(1,-2)$ と $f_y(1,-2)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x,y)$ を $x$ で偏微分する。

$f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{4y-3}{2x+1}\right) = (4y-3) \frac{\partial}{\partial x} (2x+1)^{-1} = (4y-3) (-1) (2x+1)^{-2} \cdot 2 = \frac{-2(4y-3)}{(2x+1)^2}$

次に、$f_x(x,y)$ に $(x,y) = (1,-2)$ を代入する。

$f_x(1,-2) = \frac{-2(4(-2)-3)}{(2(1)+1)^2} = \frac{-2(-8-3)}{3^2} = \frac{-2(-11)}{9} = \frac{22}{9}$

次に、関数 $f(x,y)$ を $y$ で偏微分する。

$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{4y-3}{2x+1}\right) = \frac{1}{2x+1} \frac{\partial}{\partial y} (4y-3) = \frac{4}{2x+1}$

次に、$f_y(x,y)$ に $(x,y) = (1,-2)$ を代入する。

$f_y(1,-2) = \frac{4}{2(1)+1} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$f_x(1,-2) = \frac{22}{9}$

$f_y(1,-2) = \frac{4}{3}$