関数 $f(x,y) = e^{4x^2-5xy+3y^2-9}$ について、点 $(2,1)$ における偏微分係数 $f_x(2,1)$ と $f_y(2,1)$ を求めよ。ただし、$f_x(2,1) = 11$ は既知である。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = e^{4x^2-5xy+3y^2-9}$ について、点 $(2,1)$ における偏微分係数 $f_x(2,1)$ と $f_y(2,1)$ を求めよ。ただし、$f_x(2,1) = 11$ は既知である。

2. 解き方の手順

まず、$f(x,y)$ を $y$ で偏微分して $f_y(x,y)$ を求める。次に、求めた $f_y(x,y)$ に $x=2$, $y=1$ を代入して $f_y(2,1)$ を求める。

ステップ1: $f(x,y)$ を $y$ で偏微分する。

$f(x,y) = e^{4x^2-5xy+3y^2-9}$ なので、合成関数の微分公式より、

$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} e^{4x^2-5xy+3y^2-9} = e^{4x^2-5xy+3y^2-9} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (4x^2-5xy+3y^2-9)$

$= e^{4x^2-5xy+3y^2-9} \cdot (-5x+6y)$

ステップ2: $f_y(x,y)$ に $x=2$, $y=1$ を代入する。

$f_y(2,1) = e^{4(2)^2-5(2)(1)+3(1)^2-9} \cdot (-5(2)+6(1))$

$= e^{16-10+3-9} \cdot (-10+6)$

$= e^{0} \cdot (-4)$

$= 1 \cdot (-4)$

$= -4$

3. 最終的な答え

$f_y(2,1) = -4$