与えられた4つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-\sqrt{x}}dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x}dx$ (3) $\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}}dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-\sqrt{x}}dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x}dx$

(3) $\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}}dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta$

2. 解き方の手順

(1) $x = t^2$ と置換します。$dx = 2t dt$ となります。積分範囲は $x: 0 \to \infty$ に対して $t: 0 \to \infty$ となります。

$$\int_{0}^{\infty} xe^{-\sqrt{x}}dx = \int_{0}^{\infty} t^2 e^{-t} (2t) dt = 2\int_{0}^{\infty} t^3 e^{-t} dt = 2\Gamma(4) = 2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$$

ここで、$\Gamma(n) = (n-1)!$ を用いました。

(2) これはガンマ関数の定義そのものです。

$$\int_{0}^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x}dx = \Gamma(n + \frac{1}{2})$$

ガンマ関数の漸化式 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ を用いると、

$\Gamma(n + \frac{1}{2}) = (n - \frac{1}{2})\Gamma(n-\frac{1}{2}) = (n - \frac{1}{2})(n - \frac{3}{2})\Gamma(n-\frac{3}{2}) = \dots$

もし $n=1$ なら、$\Gamma(1+\frac{1}{2}) = \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$

一般の場合、$\Gamma(n + \frac{1}{2})$ はそのままにしておきます。

(3) $x = 2t$ と置換します。$dx = 2 dt$ となります。積分範囲は $x: 0 \to 2$ に対して $t: 0 \to 1$ となります。

$$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}}dx = \int_{0}^{1} \frac{(2t)^3}{\sqrt{2-2t}} 2 dt = \int_{0}^{1} \frac{8t^3}{\sqrt{2(1-t)}} 2 dt = \frac{16}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1} \frac{t^3}{\sqrt{1-t}} dt = 8\sqrt{2}\int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-\frac{1}{2}} dt$$

これはベータ関数の形 $B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$ です。

$x-1 = 3 \implies x = 4$

$y-1 = -\frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2}$

よって、

$$8\sqrt{2}B(4, \frac{1}{2}) = 8\sqrt{2}\frac{\Gamma(4)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(4+\frac{1}{2})} = 8\sqrt{2}\frac{3!\sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{9}{2})} = 8\sqrt{2}\frac{6\sqrt{\pi}}{\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}} = 8\sqrt{2}\frac{6}{\frac{105}{16}} = 8\sqrt{2}\frac{6 \cdot 16}{105} = \frac{768\sqrt{2}}{105} = \frac{256\sqrt{2}}{35}$$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta$

これはベータ関数を使って表現できます。公式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m\theta \cos^n\theta d\theta = \frac{1}{2}B(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2})$ を用います。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta = \frac{1}{2}B(\frac{4+1}{2}, \frac{2+1}{2}) = \frac{1}{2}B(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{5}{2}+\frac{3}{2})} = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(4)} = \frac{1}{2}\frac{(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi})(\frac{1}{2}\sqrt{\pi})}{3!} = \frac{1}{2}\frac{(\frac{3}{4}\pi)(\frac{1}{2})}{6} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$$

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $\Gamma(n + \frac{1}{2})$

(3) $\frac{256\sqrt{2}}{35}$

(4) $\frac{\pi}{32}$