1. 問題の内容
与えられた定積分 を計算します。
2. 解き方の手順
この積分は、 という公式を利用して解きます。
この場合、 なので、 です。
したがって、
\int \frac{dx}{x^2 + 4} = \frac{1}{2} \arctan{\frac{x}{2}} + C
次に、定積分を計算します。
\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} = \left[ \frac{1}{2} \arctan{\frac{x}{2}} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \arctan{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \arctan{\frac{0}{2}} = \frac{1}{2} \arctan{1} - \frac{1}{2} \arctan{0}
であり、 であるため、
\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\pi}{8}