与えられた定積分 $\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4}$ を計算します。

解析学定積分積分arctan計算
2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた定積分 02dxx2+4\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、dxx2+a2=1aarctanxa+C\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C という公式を利用して解きます。
この場合、a2=4a^2 = 4 なので、a=2a = 2 です。
したがって、
\int \frac{dx}{x^2 + 4} = \frac{1}{2} \arctan{\frac{x}{2}} + C
次に、定積分を計算します。
\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} = \left[ \frac{1}{2} \arctan{\frac{x}{2}} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \arctan{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \arctan{\frac{0}{2}} = \frac{1}{2} \arctan{1} - \frac{1}{2} \arctan{0}
arctan1=π4\arctan{1} = \frac{\pi}{4} であり、arctan0=0\arctan{0} = 0 であるため、
\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\pi}{8}

3. 最終的な答え

π8\frac{\pi}{8}

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