与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2+4)^6 (x^2+3)^8$ の微分

積の微分法と合成関数の微分法を使います。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

$u = (x^2+4)^6$, $v = (x^2+3)^8$ とすると、

$u' = 6(x^2+4)^5 (2x) = 12x(x^2+4)^5$

$v' = 8(x^2+3)^7 (2x) = 16x(x^2+3)^7$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 12x(x^2+4)^5 (x^2+3)^8 + (x^2+4)^6 16x(x^2+3)^7$

$= 4x(x^2+4)^5(x^2+3)^7 [3(x^2+3) + 4(x^2+4)]$

$= 4x(x^2+4)^5(x^2+3)^7 (3x^2+9 + 4x^2+16)$

$= 4x(x^2+4)^5(x^2+3)^7 (7x^2+25)$

(2) $y = \arctan(2^x)$ の微分

合成関数の微分法を使います。$\arctan(u)$ の微分は $\frac{1}{1+u^2}u'$ です。

$u = 2^x$ とすると、$u' = 2^x \ln 2$

したがって、

$y' = \frac{1}{1 + (2^x)^2} (2^x \ln 2) = \frac{2^x \ln 2}{1 + 4^x}$

(3) $y = \sin(3 + \sin(2x))$ の微分

合成関数の微分法を2回使います。

まず、$u = 3 + \sin(2x)$ とすると、$y = \sin(u)$ であり、$y' = \cos(u) u'$ です。

次に、$u' = \cos(2x) (2) = 2\cos(2x)$

したがって、

$y' = \cos(3 + \sin(2x)) (2\cos(2x)) = 2\cos(2x)\cos(3 + \sin(2x))$

(4) $y = \log_x(2x^2+3)$ の微分

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を使います。ここでは $c = e$ とします。

$y = \frac{\ln(2x^2+3)}{\ln x}$

商の微分法を使います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \ln(2x^2+3)$, $v = \ln x$

$u' = \frac{4x}{2x^2+3}$, $v' = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{\frac{4x}{2x^2+3} \ln x - \frac{1}{x} \ln(2x^2+3)}{(\ln x)^2}$

$= \frac{4x^2\ln x - (2x^2+3)\ln(2x^2+3)}{x(2x^2+3)(\ln x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $4x(x^2+4)^5(x^2+3)^7 (7x^2+25)$

(2) $\frac{2^x \ln 2}{1 + 4^x}$

(3) $2\cos(2x)\cos(3 + \sin(2x))$

(4) $\frac{4x^2\ln x - (2x^2+3)\ln(2x^2+3)}{x(2x^2+3)(\ln x)^2}$