## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問6.1.2の次の10個の積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

(6) $\int \sin(3x) dx$

(7) $\int e^{2x+3} dx$

(8) $\int x(2-x)^3 dx$

(9) $\int x\sqrt{1-x} dx$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

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2. 解き方の手順

以下に、各積分の解き方を示します。積分定数は省略します。

**(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$**

置換積分を行います。$u = 2x+1$ とすると、$du = 2 dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| = \frac{1}{2} \ln|2x+1|$$

**(2) $\int (2x+3)^3 dx$**

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とすると、$du = 2 dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int (2x+3)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} = \frac{1}{8} u^4 = \frac{1}{8} (2x+3)^4$$

**(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$**

置換積分を行います。$u = 4x-3$ とすると、$du = 4 dx$ より $dx = \frac{1}{4} du$ です。

$$\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{8} u^{-2} = -\frac{1}{8(4x-3)^2}$$

**(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$**

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とすると、$du = 2 dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int \sqrt{2x+3} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (2x+3)\sqrt{2x+3}$$

**(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$**

置換積分を行います。$u = 2-3x$ とすると、$du = -3 dx$ より $dx = -\frac{1}{3} du$ です。

$$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3} \sqrt{2-3x}$$

**(6) $\int \sin(3x) dx$**

置換積分を行います。$u = 3x$ とすると、$du = 3 dx$ より $dx = \frac{1}{3} du$ です。

$$\int \sin(3x) dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin(u) du = \frac{1}{3} (-\cos(u)) = -\frac{1}{3} \cos(3x)$$

**(7) $\int e^{2x+3} dx$**

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とすると、$du = 2 dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int e^{2x+3} dx = \int e^{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u = \frac{1}{2} e^{2x+3}$$

**(8) $\int x(2-x)^3 dx$**

まず、$(2-x)^3$を展開します。 $(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$.

したがって、

$$\int x(2-x)^3 dx = \int x(8 - 12x + 6x^2 - x^3) dx = \int (8x - 12x^2 + 6x^3 - x^4) dx = 4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5$$

**(9) $\int x\sqrt{1-x} dx$**

置換積分を行います。$u = 1-x$ とすると、$x = 1-u$, $du = -dx$ より $dx = -du$ です。

$$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u} (-du) = -\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du = -\left(\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right) = -\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} = -\frac{2}{3} (1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (1-x)^{\frac{5}{2}} = -\frac{2}{3} (1-x)\sqrt{1-x} + \frac{2}{5} (1-x)^2\sqrt{1-x} = \sqrt{1-x} \left( -\frac{2}{3} (1-x) + \frac{2}{5} (1-x)^2 \right)$$

$$=\sqrt{1-x} \left( -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}x + \frac{2}{5} (1-2x+x^2) \right) = \sqrt{1-x} \left( -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}x + \frac{2}{5} - \frac{4}{5}x + \frac{2}{5}x^2 \right)$$

$$= \sqrt{1-x} \left( -\frac{4}{15} - \frac{2}{15}x + \frac{2}{5}x^2 \right) = \frac{2}{15} \sqrt{1-x} (3x^2 - x - 2)$$

**(10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$**

置換積分を行います。$u = x+1$ とすると、$x = u-1$, $du = dx$ です。

$$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}}) du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} - 2 (x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} (x+1)\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x+1} = \sqrt{x+1} \left( \frac{2}{3} (x+1) - 2 \right)$$

$$= \sqrt{x+1} \left( \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - 2 \right) = \sqrt{x+1} \left( \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \right) = \frac{2}{3} (x-2) \sqrt{x+1}$$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln|2x+1|$

(2) $\frac{1}{8} (2x+3)^4$

(3) $-\frac{1}{8(4x-3)^2}$

(4) $\frac{1}{3} (2x+3)\sqrt{2x+3}$

(5) $-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x}$

(6) $-\frac{1}{3} \cos(3x)$

(7) $\frac{1}{2} e^{2x+3}$

(8) $4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5$

(9) $\frac{2}{15} \sqrt{1-x} (3x^2 - x - 2)$

(10) $\frac{2}{3} (x-2) \sqrt{x+1}$