問題1：$\cos x$ の有限マクローリン展開が次の式で表せることを示す問題です。 $1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \dots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \frac{(-1)^{n+1}\cos \theta x}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ 問題2：次の関数の有限マクローリン展開を求める問題です。 (1) $(e^x + e^{-x})^2$ (2) $\sin^2 x$ (3) $\log \frac{1+x}{1-x}$

1. 問題の内容

問題1：$\cos x$ の有限マクローリン展開が次の式で表せることを示す問題です。

$1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \dots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \frac{(-1)^{n+1}\cos \theta x}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

問題2：次の関数の有限マクローリン展開を求める問題です。

(1) $(e^x + e^{-x})^2$

(2) $\sin^2 x$

(3) $\log \frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

問題2 (1) $(e^x + e^{-x})^2$のマクローリン展開を求めます。

まず、$(e^x + e^{-x})^2$を展開します。

$(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

$e^x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

したがって、$e^{2x}$ のマクローリン展開は次の通りです。

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$

同様に、$e^{-2x}$ のマクローリン展開は次の通りです。

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!}$

したがって、$(e^x + e^{-x})^2$ のマクローリン展開は次の通りです。

$(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x} = (1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \dots) + 2 + (1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \dots)$

$= 4 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = 4 + 2(\frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots) = 4 + 4x^2 + \frac{4}{3} x^4 + \frac{8}{45} x^6 + ...$

問題2 (2) $\sin^2 x$のマクローリン展開を求めます。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\cos x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

したがって、$\cos 2x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!}$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1 - (1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots)}{2} = \frac{\frac{(2x)^2}{2!} - \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^6}{6!} - \dots}{2}$

$= \frac{4x^2}{2 \cdot 2!} - \frac{16x^4}{2 \cdot 4!} + \frac{64x^6}{2 \cdot 6!} - \dots = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots$

問題2 (3) $\log \frac{1+x}{1-x}$のマクローリン展開を求めます。

$\log \frac{1+x}{1-x} = \log (1+x) - \log (1-x)$

$\log (1+x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

$\log (1-x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\log (1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\log \frac{1+x}{1-x} = \log (1+x) - \log (1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots)$

$= 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

3. 最終的な答え

問題2

(1) $(e^x + e^{-x})^2 = 4 + 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \frac{8}{45}x^6 + \dots$

(2) $\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots$

(3) $\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots$