曲線 $y = x^3 - 3x + 1$ 上の点 $A(0, 1)$ における接線と法線の方程式を求める。

## 問題48(1)

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x + 1$ 上の点 $A(0, 1)$ における接線と法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数の導関数を求める。

$y = x^3 - 3x + 1$ より、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$

(2) 点 $A(0, 1)$ における接線の傾きを求める。

$x = 0$ を $\frac{dy}{dx}$ に代入すると、接線の傾き $m$ は

$m = 3(0)^2 - 3 = -3$

(3) 点 $A(0, 1)$ における接線の方程式を求める。

点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

よって、接線の方程式は

$y - 1 = -3(x - 0)$

$y = -3x + 1$

(4) 点 $A(0, 1)$ における法線の傾きを求める。

法線は接線に垂直な直線であるから、法線の傾き $m'$ は $m \cdot m' = -1$ を満たす。

したがって、法線の傾きは

$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$

(5) 点 $A(0, 1)$ における法線の方程式を求める。

法線の方程式は

$y - 1 = \frac{1}{3}(x - 0)$

$y = \frac{1}{3}x + 1$

3. 最終的な答え

接線の方程式： $y = -3x + 1$

法線の方程式： $y = \frac{1}{3}x + 1$