問題1は、与えられた関数を微分する問題です。(1)と(2)の二つの関数があります。問題2は、効用関数 $U = 2x^3$ が与えられたとき、(1) $x=1$ のとき、(2) $x=5$ のときの限界効用を求める問題です。限界効用は効用関数を $x$ で微分することで求められます。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた関数を微分する問題です。(1)と(2)の二つの関数があります。問題2は、効用関数 $U = 2x^3$ が与えられたとき、(1) $x=1$ のとき、(2) $x=5$ のときの限界効用を求める問題です。限界効用は効用関数を $x$ で微分することで求められます。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 関数 $U = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - x - 3$ を微分します。

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = x^2$

$\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x$

$\frac{d}{dx}(-x) = -1$

$\frac{d}{dx}(-3) = 0$

したがって、微分は $x^2 + 4x - 1$ となります。

(2) 関数 $U = 3x^{\frac{1}{3}} + x^2 - x^{-1}$ を微分します。

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(3x^{\frac{1}{3}}) = 3 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} = x^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\frac{d}{dx}(-x^{-1}) = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2}$

したがって、微分は $x^{-\frac{2}{3}} + 2x + x^{-2}$ となります。

問題2:

効用関数 $U = 2x^3$ を $x$ で微分して限界効用を求めます。

$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2$

(1) $x=1$ のときの限界効用を求めます。

$6(1)^2 = 6$

(2) $x=5$ のときの限界効用を求めます。

$6(5)^2 = 6(25) = 150$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $x^2 + 4x - 1$

(2) $x^{-\frac{2}{3}} + 2x + x^{-2}$

問題2:

(1) $6$

(2) $150$