以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$ ヒントとして、$x = 2t$ とおくことが示されています。

以下に、画像内の数学の問題 (3) を解きます。

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$

ヒントとして、$x = 2t$ とおくことが示されています。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2t$ と置換します。すると、$dx = 2dt$ となり、積分範囲は $x: 0 \to 2$ から $t: 0 \to 1$ に変わります。したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx = \int_{0}^{1} \frac{(2t)^3}{\sqrt{2-2t}} 2dt = \int_{0}^{1} \frac{8t^3}{\sqrt{2(1-t)}} 2dt = \frac{16}{\sqrt{2}} \int_{0}^{1} \frac{t^3}{\sqrt{1-t}} dt = 8\sqrt{2} \int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-\frac{1}{2}} dt$

ここで、ベータ関数の定義を思い出します。

$B(m, n) = \int_{0}^{1} t^{m-1} (1-t)^{n-1} dt$

したがって、我々の積分は $m-1 = 3$ と $n-1 = -\frac{1}{2}$ を満たします。すなわち、$m = 4$ と $n = \frac{1}{2}$ です。

$\int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-\frac{1}{2}} dt = B(4, \frac{1}{2})$

次に、ベータ関数をガンマ関数で表す公式を使います。

$B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

したがって、

$B(4, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(4) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(4+\frac{1}{2})} = \frac{\Gamma(4) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{9}{2})}$

ガンマ関数の性質 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ を用います。また、$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ であることを思い出します。

$\Gamma(4) = 3! = 6$

$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2} \Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{105}{16} \sqrt{\pi}$

したがって、

$B(4, \frac{1}{2}) = \frac{6\sqrt{\pi}}{\frac{105}{16} \sqrt{\pi}} = \frac{6}{\frac{105}{16}} = \frac{6 \cdot 16}{105} = \frac{2 \cdot 16}{35} = \frac{32}{35}$

最後に、元の積分を計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx = 8\sqrt{2} B(4, \frac{1}{2}) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{32}{35} = \frac{256\sqrt{2}}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{256\sqrt{2}}{35}$