与えられた関数 $ f(x, y) = \begin{cases} |x|^\alpha |y|^\beta & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $ について、以下の問いに答える。ただし、$\alpha, \beta > 0$とする。 (1) $x$軸との角度$\theta (0 \le \theta < 2\pi)$である方向を$\mathbf{l}$とする。点(0, 0)で方向微分係数$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0)$が存在する$\alpha, \beta$の条件を求め、そのときの$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0)$の値を求める。 (2) $f(x, y)$が(全)微分可能となる$\alpha, \beta$の条件を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数

$f(x, y) = \begin{cases} |x|^\alpha |y|^\beta & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

について、以下の問いに答える。ただし、$\alpha, \beta > 0$とする。

(1) $x$軸との角度$\theta (0 \le \theta < 2\pi)$である方向を$\mathbf{l}$とする。点(0, 0)で方向微分係数$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0)$が存在する$\alpha, \beta$の条件を求め、そのときの$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0)$の値を求める。

(2) $f(x, y)$が(全)微分可能となる$\alpha, \beta$の条件を求める。

2. 解き方の手順

(1) 方向微分係数の存在条件とその値

方向ベクトルを$\mathbf{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$とすると、方向微分係数は

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0, 0)}{t}$$

となる。ここで、$f(0, 0) = 0$なので、

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t\cos\theta|^\alpha |t\sin\theta|^\beta}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|^{\alpha + \beta} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta}{t}$$

となる。

$\theta = 0, \pi$のとき、$\sin\theta = 0$なので$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$となる。

$\theta = \pi/2, 3\pi/2$のとき、$\cos\theta = 0$なので$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$となる。

$0 < \theta < \pi/2, \pi/2 < \theta < \pi, \pi < \theta < 3\pi/2, 3\pi/2 < \theta < 2\pi$のとき、$\cos\theta \neq 0, \sin\theta \neq 0$なので、

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t|^{\alpha + \beta} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta}{t}$$

この極限が存在するためには、$\alpha + \beta > 1$が必要である。

$\alpha + \beta > 1$のとき、

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \begin{cases} 0 & \text{if } \alpha + \beta > 1 \\ |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta & \text{if } \alpha + \beta = 1, t \to 0^+ \\ -|\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta & \text{if } \alpha + \beta = 1, t \to 0^- \end{cases}$$

$t \to 0$において正負の極限値が一致しない場合、$\alpha + \beta = 1$のときは方向微分は存在しない。

$\alpha + \beta > 1$のとき、$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$となる。

(2) 全微分可能性の条件

$f(x, y)$が(0, 0)で全微分可能であるとき、

$f(x, y) = f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + o(\sqrt{x^2 + y^2})$が成り立つ。

$f(0, 0) = 0$, $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$より、

$f(x, y) = o(\sqrt{x^2 + y^2})$

つまり、

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$

となる。

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{|x|^\alpha |y|^\beta}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$とおくと、

$\lim_{r \to 0} \frac{|r\cos\theta|^\alpha |r\sin\theta|^\beta}{r} = \lim_{r \to 0} r^{\alpha + \beta - 1} |\cos\theta|^\alpha |\sin\theta|^\beta = 0$

したがって、$\alpha + \beta - 1 > 0$、つまり$\alpha + \beta > 1$が必要である。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta > 1$のとき、$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$となる。

(2) $\alpha + \beta > 1$のとき、$f(x, y)$は(全)微分可能である。