与えられた積分を計算します。具体的には、$\int (5x - 3)\sqrt{x} \, dx$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。具体的には、$\int (5x - 3)\sqrt{x} \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$\sqrt{x} = x^{1/2}$ であることを利用して、

$(5x - 3)\sqrt{x} = 5x^{3/2} - 3x^{1/2}$

となります。

したがって、積分は

$\int (5x - 3)\sqrt{x} \, dx = \int (5x^{3/2} - 3x^{1/2}) \, dx$

となります。

次に、各項を個別に積分します。

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

という公式を用いて、

$\int 5x^{3/2} \, dx = 5 \int x^{3/2} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + C_1 = 2x^{5/2} + C_1$

$\int 3x^{1/2} \, dx = 3 \int x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_2 = 2x^{3/2} + C_2$

よって、

$\int (5x^{3/2} - 3x^{1/2}) \, dx = 2x^{5/2} - 2x^{3/2} + C$

となります。ここで、$C = C_1 - C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$2x^{5/2} - 2x^{3/2} + C$