定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 - 2x + 2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 - 2x + 2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成します。

$x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(x - 1)^2 + 1} dx$

ここで、$x - 1 = u$ と置換します。すると、$dx = du$ となり、積分範囲は$x=1$のとき$u = 1 - 1 = 0$、$x = \sqrt{3}$のとき$u = \sqrt{3} - 1$となります。よって、

$\int_{0}^{\sqrt{3} - 1} \frac{1}{u^2 + 1} du$

$\frac{1}{u^2 + 1}$ の積分は $\arctan(u)$ であるので、

$\int_{0}^{\sqrt{3} - 1} \frac{1}{u^2 + 1} du = [\arctan(u)]_{0}^{\sqrt{3} - 1}$

$= \arctan(\sqrt{3} - 1) - \arctan(0)$

$= \arctan(\sqrt{3} - 1) - 0$

三角関数の加法定理を思い出して、$\arctan(\sqrt{3} - 1)$ の値を求めます。

$\tan(\frac{\pi}{12}) = \tan(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan(\frac{\pi}{3}) - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan(\frac{\pi}{3})\tan(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

ここで、$\frac{\pi}{12}$を2倍すると$\frac{\pi}{6}$なので, 半角の公式を使って$\tan(\frac{\pi}{12})$を計算してみます。

$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$のとき、$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$なので

$\tan(\frac{\pi}{12}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 - \sqrt{3}$

問題文の積分$\arctan(\sqrt{3} - 1)$と$\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$は異なります。しかし、$\arctan(\sqrt{3} - 1)$は$\frac{\pi}{12}$ではありません。正しくは$\arctan(\sqrt{3}-1)=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8} = \arctan(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1})=\arctan(\sqrt{2}-1)$

$\tan(x-y)=\frac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}$に$x=\frac{\pi}{3}$と$y=\frac{\pi}{4}$を代入すると$\tan(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$が得られます。

$\frac{\pi}{12}=\arctan(2-\sqrt{3})$です。

問題の積分は$\arctan(u)$なので、arctanの加法定理の利用を検討します。

arctanの加法定理は、$\arctan x + \arctan y = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$です。この公式を使うと$\arctan(\sqrt{3}-1)$の値は求まりません。

$\int_{0}^{\sqrt{3} - 1} \frac{1}{u^2 + 1} du = [\arctan(u)]_{0}^{\sqrt{3} - 1}=\arctan(\sqrt{3}-1)$

$\sqrt{3}-1$の値は$\frac{\pi}{8}$の正接であることに注目すると、$\arctan(\sqrt{3}-1) = \frac{\pi}{12}$ではなく$\arctan(\sqrt{3}-1)\approx0.6154797$です。

$\tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}$であることに注意すると,$\sqrt{3}-1 = \frac{2}{1+\sqrt{3}}$なので,

$\arctan(\sqrt{3}-1) = \arctan \frac{2}{1+\sqrt{3}} = \frac{\pi}{12}$

arctanの定義より最終的な値は

$\frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12}$