次の3つの微分方程式を解きます。ここで、$y$ は $x$ の関数です。 (1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$ ($a$ は定数) (2) $\frac{dy}{dx} = y(5-y)$, $y(0) = 1$ (3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

次の3つの微分方程式を解きます。ここで、$y$ は $x$ の関数です。

(1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$ ($a$ は定数)

(2) $\frac{dy}{dx} = y(5-y)$, $y(0) = 1$

(3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$

変数分離を行うと、

$\frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = \int dx$

$\arcsin(\frac{y}{a}) = x + C$

$\frac{y}{a} = \sin(x+C)$

$y = a \sin(x+C)$

(2) $\frac{dy}{dx} = y(5-y)$, $y(0) = 1$

変数分離を行うと、

$\frac{dy}{y(5-y)} = dx$

$\frac{1}{y(5-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{5-y}$

$1 = A(5-y) + By$

$y=0$ のとき、$1 = 5A$, $A = \frac{1}{5}$

$y=5$ のとき、$1 = 5B$, $B = \frac{1}{5}$

したがって、$\frac{1}{y(5-y)} = \frac{1}{5}(\frac{1}{y} + \frac{1}{5-y})$

$\int \frac{dy}{y(5-y)} = \int dx$

$\frac{1}{5} \int (\frac{1}{y} + \frac{1}{5-y}) dy = \int dx$

$\frac{1}{5} (\ln|y| - \ln|5-y|) = x + C$

$\ln|\frac{y}{5-y}| = 5x + 5C$

$\frac{y}{5-y} = e^{5x+5C} = ke^{5x}$ ($k = e^{5C}$)

$y = (5-y)ke^{5x} = 5ke^{5x} - yke^{5x}$

$y(1+ke^{5x}) = 5ke^{5x}$

$y = \frac{5ke^{5x}}{1+ke^{5x}}$

初期条件 $y(0) = 1$ を代入すると、

$1 = \frac{5k}{1+k}$

$1+k = 5k$

$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

$y = \frac{5(\frac{1}{4})e^{5x}}{1+(\frac{1}{4})e^{5x}} = \frac{\frac{5}{4}e^{5x}}{\frac{4+e^{5x}}{4}} = \frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}$

(3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

これは1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$P(x) = \frac{1}{x}$

積分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$

両辺に $\mu(x) = x$ をかけると、

$x \frac{dy}{dx} + y = x \sin x$

$\frac{d}{dx}(xy) = x \sin x$

両辺を積分すると、

$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int x \sin x dx$

$xy = \int x \sin x dx$

$\int x \sin x dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$

$xy = -x\cos x + \sin x + C$

$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = a \sin(x+C)$

(2) $y = \frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}$

(3) $y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$