$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ とする。曲線 $y = f(x)$ は点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接している。 (1) $p$, $q$ の値を求める。 (2) $f(x)$ の極大値を求める。 (3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $\ell$ とする。曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ とする。曲線 $y = f(x)$ は点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接している。

(1) $p$, $q$ の値を求める。

(2) $f(x)$ の極大値を求める。

(3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $\ell$ とする。曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = f(x)$ が点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接するので、

$f(2) = 0$ かつ $f'(2) = 0$ が成り立つ。

$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ なので、

$f(2) = 2^3 + p \cdot 2^2 + q \cdot 2 = 8 + 4p + 2q = 0$

$4p + 2q = -8$

$2p + q = -4$ ...(1)

$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ なので、

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2p \cdot 2 + q = 12 + 4p + q = 0$

$4p + q = -12$ ...(2)

(2) - (1) より、

$2p = -8$

$p = -4$

(1) に代入して、

$2 \cdot (-4) + q = -4$

$-8 + q = -4$

$q = 4$

よって、$p = -4$, $q = 4$ である。

(2)

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{2}{3}, 2$

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$ | ... | $\frac{2}{3}$ | ... | $2$ | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | + | 0 | - | 0 | +

$f(x)$ | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8}{27} - \frac{48}{27} + \frac{72}{27} = \frac{32}{27}$

極大値は $\frac{32}{27}$

(3)

点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $\ell$ とする。

接点を $(t, f(t))$ とすると、接線 $\ell$ の方程式は

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y = f'(t)(x - t) + f(t)$

この直線が $(2, 0)$ を通るので、

$0 = f'(t)(2 - t) + f(t)$

$f(t) = t^3 - 4t^2 + 4t$

$f'(t) = 3t^2 - 8t + 4$

$0 = (3t^2 - 8t + 4)(2 - t) + t^3 - 4t^2 + 4t$

$0 = 6t^2 - 16t + 8 - 3t^3 + 8t^2 - 4t + t^3 - 4t^2 + 4t$

$0 = -2t^3 + 10t^2 - 16t + 8$

$0 = t^3 - 5t^2 + 8t - 4$

$0 = (t - 1)(t - 2)^2$

$t = 1, 2$

$t = 2$ の時は点 $(2, 0)$ で接するので、それ以外の接点を考える。

$t = 1$ のとき、$f(1) = 1 - 4 + 4 = 1$

$f'(1) = 3 - 8 + 4 = -1$

接線 $\ell$ は、$y - 1 = -1(x - 1)$

$y = -x + 2$

$x^3 - 4x^2 + 4x = -x + 2$

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x - 2) = 0$

$(x - 1)^2 (x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

$\int_{1}^{2} \{ (x^3 - 4x^2 + 4x) - (-x + 2) \} dx$

$= \int_{1}^{2} (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx$

$= [\frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{5}{2} x^2 - 2x ]_1^2$

$= (\frac{1}{4} (16) - \frac{4}{3} (8) + \frac{5}{2} (4) - 2(2)) - (\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2)$

$= (4 - \frac{32}{3} + 10 - 4) - (\frac{3}{12} - \frac{16}{12} + \frac{30}{12} - \frac{24}{12})$

$= (10 - \frac{32}{3}) - (\frac{-7}{12})$

$= \frac{30}{3} - \frac{32}{3} + \frac{7}{12}$

$= \frac{-2}{3} + \frac{7}{12} = \frac{-8}{12} + \frac{7}{12} = \frac{-1}{12}$

面積なので絶対値をとり $\frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4, q = 4$

(2) $\frac{32}{27}$

(3) $\frac{1}{12}$