放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = 2x^2 - 4x + 9$ について、 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式を2つ求める。 (2) (1) で求めた2つの直線と放物線 $C_1$ で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = 2x^2 - 4x + 9$ について、

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式を2つ求める。

(2) (1) で求めた2つの直線と放物線 $C_1$ で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線の方程式を $y = mx + n$ とおく。

$C_1$ と直線 $y = mx + n$ が接するための条件を考える。

$-x^2 + 2x = mx + n$ より、$x^2 + (m-2)x + n = 0$

この2次方程式の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (m-2)^2 - 4n = 0$

$m^2 - 4m + 4 - 4n = 0$

$4n = m^2 - 4m + 4$

$n = \frac{1}{4} m^2 - m + 1$ ...(1)

次に、$C_2$ と直線 $y = mx + n$ が接するための条件を考える。

$2x^2 - 4x + 9 = mx + n$ より、$2x^2 - (4+m)x + 9 - n = 0$

この2次方程式の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (4+m)^2 - 4(2)(9-n) = 0$

$16 + 8m + m^2 - 72 + 8n = 0$

$m^2 + 8m - 56 + 8n = 0$

$8n = -m^2 - 8m + 56$

$n = -\frac{1}{8}m^2 - m + 7$ ...(2)

(1) と (2) より、

$\frac{1}{4}m^2 - m + 1 = -\frac{1}{8}m^2 - m + 7$

$\frac{2}{8}m^2 + \frac{1}{8}m^2 = 6$

$\frac{3}{8}m^2 = 6$

$m^2 = 16$

$m = \pm 4$

$m = 4$ のとき、(1) より $n = \frac{1}{4}(16) - 4 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

よって、$y = 4x + 1$

$m = -4$ のとき、(1) より $n = \frac{1}{4}(16) - (-4) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$

よって、$y = -4x + 9$

(2)

求める面積は、$\int_a^b ((-x^2 + 2x) - (4x + 1))dx + \int_b^c ((-x^2 + 2x) - (-4x + 9))dx$ で計算できる。

まず、放物線 $y = -x^2 + 2x$ と直線 $y = 4x + 1$ の交点を求める。

$-x^2 + 2x = 4x + 1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

放物線 $y = -x^2 + 2x$ と直線 $y = -4x + 9$ の交点を求める。

$-x^2 + 2x = -4x + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

次に、$4x+1 = -4x+9$ の交点を求める。

$8x = 8$

$x = 1$

求める面積は、$S = \int_{-1}^3 (-x^2 + 2x - (4x+1)) dx + \int_1^3 (-x^2+2x -(-4x+9)) dx$

$= \int_{-1}^3 (-x^2 - 2x - 1) dx$

$S = \int_{-1}^3 -(x+1)^2 dx$

$S = [-\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^3 = -\frac{1}{3}(4^3 - 0) = -\frac{64}{3}$

絶対値を取り、$S = \frac{32}{3}$

求める面積は $S = \int_{-1}^3 |(-x^2 + 2x) - (4x + 1)| dx = \int_{-1}^3 |-(x+1)^2| dx = \int_{-1}^3 (x+1)^2 dx = [ \frac{1}{3}(x+1)^3 ]_{-1}^3 = \frac{1}{3}(4^3) - \frac{1}{3}(0) = \frac{64}{3}$

$S = \int_{1}^3 |(-x^2 + 2x) - (-4x + 9)| dx = \int_{1}^3 |-(x-3)^2| dx = \int_{1}^3 (x-3)^2 dx = [ \frac{1}{3}(x-3)^3 ]_{1}^3 = 0 - \frac{1}{3}(-2)^3 = \frac{8}{3}$

よって面積は $\frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x + 1$ と $y = -4x + 9$

(2) $\frac{32}{3}$