以下の3つの不定積分を計算する問題です。a, b, c, dはすべて定数とし、積分定数はCとします。 (1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$ (2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$ (3) $\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算する問題です。a, b, c, dはすべて定数とし、積分定数はCとします。

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$

(2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$

(3) $\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に積分します。

$\int at^2 dt = \frac{a}{3}t^3 + C_1$

$\int bt dt = \frac{b}{2}t^2 + C_2$

$\int c dt = ct + C_3$

$\int \frac{d}{t} dt = d \ln |t| + C_4$

したがって、

$\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln |t| + C$

(2) 各項を個別に積分します。

$\int a \sin(bt + c) dt = -\frac{a}{b} \cos(bt + c) + C_1$

$\int d \cos(bt + c) dt = \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C_2$

したがって、

$\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt = -\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$

(3) 各項を個別に積分します。

$\int ae^{bt} dt = \frac{a}{b}e^{bt} + C_1$

$\int ce^{-bt} dt = -\frac{c}{b}e^{-bt} + C_2$

したがって、

$\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt = \frac{a}{b}e^{bt} - \frac{c}{b}e^{-bt} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln |t| + C$

(2) $-\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$

(3) $\frac{a}{b}e^{bt} - \frac{c}{b}e^{-bt} + C$