次の3つの微分方程式を解きます。 (1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$ (aは定数) (2) $\frac{dy}{dx} = y(5 - y)$, $y(0) = 1$ (3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

次の3つの微分方程式を解きます。

(1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$ (aは定数)

(2) $\frac{dy}{dx} = y(5 - y)$, $y(0) = 1$

(3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$

変数を分離すると、

$\frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = \int dx$

$\arcsin(\frac{y}{a}) = x + C$

$y = a \sin(x + C)$

(2) $\frac{dy}{dx} = y(5 - y)$

変数を分離すると、

$\frac{dy}{y(5-y)} = dx$

部分分数分解すると、

$\frac{1}{y(5-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{5-y}$

$1 = A(5-y) + By$

$1 = 5A - Ay + By$

$1 = 5A + (B-A)y$

したがって、$5A = 1$より $A = \frac{1}{5}$、 $B-A = 0$より $B = A = \frac{1}{5}$。

よって、$\frac{1}{y(5-y)} = \frac{1}{5}(\frac{1}{y} + \frac{1}{5-y})$

$\int \frac{dy}{y(5-y)} = \frac{1}{5} \int (\frac{1}{y} + \frac{1}{5-y}) dy = \frac{1}{5}(\ln|y| - \ln|5-y|) = \frac{1}{5}\ln|\frac{y}{5-y}|$

$\int dx = x + C$

$\frac{1}{5}\ln|\frac{y}{5-y}| = x + C$

$\ln|\frac{y}{5-y}| = 5x + 5C$

$\frac{y}{5-y} = e^{5x + 5C} = Ke^{5x}$ ($K = e^{5C}$)

$y = (5-y)Ke^{5x}$

$y = 5Ke^{5x} - yKe^{5x}$

$y(1+Ke^{5x}) = 5Ke^{5x}$

$y = \frac{5Ke^{5x}}{1+Ke^{5x}}$

初期条件$y(0) = 1$より、

$1 = \frac{5K}{1+K}$

$1+K = 5K$

$1 = 4K$

$K = \frac{1}{4}$

$y = \frac{5(\frac{1}{4})e^{5x}}{1+(\frac{1}{4})e^{5x}} = \frac{\frac{5}{4}e^{5x}}{\frac{4+e^{5x}}{4}} = \frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}$

(3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

これは線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$

両辺に$x$をかけると、

$x\frac{dy}{dx} + y = x\sin x$

$\frac{d}{dx}(xy) = x\sin x$

両辺を積分すると、

$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int x\sin x dx$

$xy = \int x\sin x dx$

部分積分を行う。

$\int x\sin x dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$

$xy = -x\cos x + \sin x + C$

$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = a \sin(x + C)$

(2) $y = \frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}$

(3) $y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$